큰 수의 법칙

Bernoulli는 공평한 확률의 동전 던지기를 예로 들면서(앞면과 뒷면을 맞출 확률이 50%로 같음) 동전 던지기의 횟수가 증가할수록 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 점점 50%에 가까워진다고 계산했습니다. 비록 동전 앞면과 뒷면이 실제로 나온 수의 차이는 점점 커지겠지만요.

"던지기의 횟수가 많아질수록 앞면과 뒷면의 분포는 50:50으로 균등해집니다."

사람들이 이해하는 데 곤란을 겪는 부분은 Bernoulli의 정리의 후반부입니다. 그래서 '도박사의 오류'란 말이 탄생했습니다. 만약 여러분이 누군가에게 9번 동전을 던졌고 모두 앞면이 나왔다고 말한다면, 그들은 다음 던지기에서는 뒷면이 나올 거라 예측할 것입니다.

하지만 그건 틀렸습니다. 동전은 기억력이 없으므로 던질 때마다 앞면이나 뒷면이 나올 가능성은 항상 0.5(50% 확률)로 같습니다.

Bernoulli가 발견한 바에 따르면, 공정한 동전 던지기의 횟수가 정말로 커질수록(예: 100만 회) 앞면과 뒷면의 분포는 약 50%로 균등해질 것입니다. 하지만 표본이 너무 크기 때문에, 동일한 50/50 분할의 예상 편차는 500만큼 커질 수 있습니다.

통계적인 표준 편차를 계산하는 이 공식은 우리가 무엇을 예측할 수 있는지 알려줍니다.

0.5 × √ (1,000,000) = 500

이렇게 던지기 횟수가 많은 경우 예상 편차를 관찰할 수 있지만, 앞서 언급한 9번 던지기의 예시에 이것을 적용하기에는 표본 수가 충분하지 않습니다.

따라서 9번의 던지기는 100만 번의 던지기 순서에서 추출한 것과 같습니다. Bernoulli의 제안처럼 100만 번의 던지기 샘플에서 확률이 반반으로 균등하게 나타나는 것에 비해 9번은 표본 수가 너무 적으므로, 완전히 우연에 의한 순서가 나올 것입니다.

베팅에서 분포 적용하기

베팅과 관련해서 예상 편차를 적용할 수 있는 몇 가지 명확한 분야가 있습니다. 가장 명백한 적용 분야는 룰렛과 같은 카지노 게임입니다. 한 번의 플레이 세션 동안 빨간색 또는 검은색 또는 홀수 또는 짝수가 균일한 순서로 나타날 거라는 잘못된 믿음 때문에 손해를 볼 수 있죠. 이 때문에 도박사의 오류는 몬테 카를로의 오류라고도 알려졌습니다.

1913년 몬테 카를로 카지노의 룰렛 테이블에서는 검은색이 무려 26회나 연속으로 나왔습니다. 15번째 검은색 이후, 베터들은 다시 검은색이 나올 확률이 천문학적으로 낮다고 가정하고 빨간색에 걸었습니다. 하나의 스핀이 다음 스핀에 영향을 준다는 비이성적인 믿음을 가져버린 것입니다.

"1913년 몬테 카를로 카지노의 룰렛 테이블에서는 검은색이 무려 26회나 연속으로 나왔습니다. 이 때문에 도박사의 오류는 몬테 카를로의 오류라고도 알려졌습니다."

또 다른 예는 슬롯 머신인데, 이것은 사실 플레이어 환급률(RTP)이 정해진 난수 생성기입니다. 슬롯 머신에 상당한 금액을 퍼부은 플레이어가 곧 대박이 터질 것이라고 확신하며 다른 플레이어의 접근을 막는 모습을 종종 볼 수 있습니다. 논리적으로 계속 잃었으니 이제 대박이 터질 차례라고 믿는 것이죠.

물론 이 전략을 성공으로 이끌려면 베터는 터무니없이 많은 수를 플레이해야 RTP에 도달할 수 있습니다.

Jacob Bernoulli는 이 법칙을 정립할 당시, 아무리 바보라도 표본이 클수록 관찰된 사건의 실제 확률을 나타낼 가능성이 높다는 것을 알 수 있다고 주장했습니다. 그가 사람들을 너무 과대평가했는지는 모르겠지만, 여러분이 큰 수의 법칙을 이해하고 평균의 법칙(또는 함정)을 버린다면 적어도 Bernoulli로부터 바보 취급을 당하는 일은 없을 것입니다.